3.1 离散信号的时域分析

3.1.1 信号的抽样和恢复

• 连续信号的离散化

• 理想化情况：冲激抽样

• 连续信号的抽样模型：

• 采样信号的频域分析

$$ x_s(t)=x(t)\underset{n=-\infin}{\overset{\infin}{\sum}}\delta(t-nT)\\x(t) \leftrightarrow X(\omega) $$

对于周期性冲激串信号，有：

$$ \\ \underset{n=-\infin}{\overset{\infin}{\sum}}\delta(t-nT)\leftrightarrow \omega_s \underset{n=-\infin}{\overset{\infin}{\sum}}\delta (\omega-n\omega_s) $$

由频域卷积定理，时域相乘对应频域卷积：

$$ X_s(\omega)=\frac{1}{2\pi}X(\omega)*P(\omega)\\=\frac{1}{T_s}\underset{n=-\infin}{\overset{\infin}{\sum}}X(\omega-n\omega_s) $$

**结论：**连续信号经过理想抽样后频谱发生两个变化

1. 频谱发生周期延拓，将原连续信号的频谱$X(\omega)$分别延拓到以$\pm \omega_s,\pm2\omega_s,...$为中心的频谱，其中$\omega_s$为采样角频率
2. 频谱的幅度乘上了因子$1/T_s$，其中$T_s$为采样周期

3.1.2 抽样定理